Новые (и не очень) препринты в arXiv’е
Observables by Hans F. de Groote
В квантовой механике состояние системы задаётся, как известно, вектором гильбертова пространства (точнее, натянутым на него одномерным подпространством), а динамика системы – линейным самосопряжённым оператором Гамильтона. В классической механике состояние системы задаётся точкой на гладком многообразии с симплектической структурой (фазовом пространстве), а динамика – функцией Гамильтона.
И гильбертово пространство с действующими в нём линейными операторами, и гладкое многообразие с симплектической структурой – это прежде всего геометрические образы, но совершенно несхожие. Тем не менее в квазиклассическом пределе из квантовой механики возникает классическая. Вопрос: как, “держа в руках” квантовомеханическую систему, то есть гильбертово пространство, “рассмотреть” в нём соответствующую классическую динамическую систему, то есть построить соответствующее гладкое многообразие?
По-видимому, в такой постановке эта задача не доделана до конца (хотя ей или её вариантами занимается масса людей, например Олег Шведов). В прошлом году в arXiv’е появилась серия статей Ханса де Грооте, в которой реализована очень близкая программа: показано, в каком смысле квантовые наблюдаемые (то есть опять же операторы на гильбертовом пространстве) “похожи” на классические (то есть просто функции на топологическом пространстве) и даже, при некоторых условиях, могут быть реализованы классическими наблюдаемыми. Вот эти статьи:
- Observables (math-ph/0507019): текст доклада на конференции “Новые математические структуры в основаниях квантовой теории”;
- Observables I: Stone spectra (math-ph/0509020); Observables II:Quantum observables (math-ph/0509075); Observables III: Classical Observables (math-ph/0601011): подробное изложение этой теории;
- к этой же серии статей примыкает препринт “Quantum Sheaves - An Outline of Results” (math-ph/0110035)
Топологическое пространство, на котором реализуются соответствующие классические наблюдаемые – это “спектр Стоуна” решётки подпространств гильбертова пространства, реализующего квантовомеханическую систему. Спектром называется, грубо говоря, способ отобразить соответствующую решётку в некоторое топологическое пространство.
Update Слово “решётка” в математике имеет два смысла. Первый, как в словосочетании “кристаллическая решётка” (регулярная конфигурация точек), здесь ни при чём. Решётки, о которых идёт речь, это совокупности каких-то объектов, котороые можно “объединять” и “пересекать” друг с другом. Например, открытые множества в пространстве можно объединять и пересекать. Если выделить в пространстве какую-то точку и выбрать только те открытые множества, которые содержат эту точку, то по этому набору открытых множеств выделенную точку можно восстановить однозначно (грубо говоря, как предел стягивающейся последовательности своих окрестностей). Если пространства как такового у нас в руках нет, но как-то перечислены всевозможные открытые множества в нём, то с помощью некоторой теоретико-решёточной чёрной магии само пространство можно восстановить, выделив в решётке открытых множеств такие “стягивающиеся последовательности” и “собрав” интересующее нас пространство из их “пределов”. Если, наконец, у нас есть решётка и неизвестно, соответствует ли она вообще какому-нибудь пространству или имеет совершенно другую природу, то можно применить ту же чёрную магию и посмотреть, что получится в итоге. Это как раз и будет “спектр Стоуна” данной решётки.
Конечно, никакой квазиклассики в теории де Грооте, по крайней мере на первый взгляд, нет.
В общем-то эта серия работ иллюстрирует типичную для матфизики ситуацию: для того, чтобы математически корректно реализовать какую-то самоочевидную для физиков вещь, приходится строить целое нагромождение собственно математических конструкций. Но то, что в итоге получается, оказывается уже чисто аксиоматически определённым объектом, для работы с которым физическая интуиция не нужна, а при некотором везении этот объект может содержать в себе иные, совершенно новые физические или математические сущности. На такое везение мы, матфизики, и надеемся 
