Оказавшись на днях в книжном киоске Независимого университета, я ушёл оттуда с очередной пачкой книг, которые, надеюсь, не останутся непрочитанными 
Вот три названия свежих (2005 г. изд.) книг издательства МЦНМО:
Т. Мива, М. Джимбо, Э. Датэ, “Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры”.
Сколько может весить раздел hep-th в arXiv.org, то есть каков суммарный объём всех, скажем, pdf-файлов статей, опубликованных там с 1991 года?
На этой странице даётся ответ: всего 8 ГБ. Более того, всё это богатство можно скачать оттуда как BitTorrent (обычно этой штукой пользуются, чтобы скачивать из сети пиратские копии телешоу и новых голливудских фильмов).
Локальная копия arXiv с полнотекстовым поиском по всем статьям (например, с помощью Google Desktop) – разве это не мечта?
Я бы очень хотел, чтобы кто-нибудь выложил такую копию архивов math и math-ph… И ещё nlin… Пожалуйста! А то ведь придётся разбираться самому.
Не профильное дело, но не мог удержаться. Вот фрагмент HTML-кода страницы с одного вполне респектабельного сайта в домене .ru:
< !DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">
<!– Во имя Отца и Сына и Святого Духа! –>
<html>
<head>
…
Интересно, как канонически оценивается тот факт, что комментарий !DOCTYPE всё-таки надо писать первым?
В квантовой механике состояние системы задаётся, как известно, вектором гильбертова пространства (точнее, натянутым на него одномерным подпространством), а динамика системы – линейным самосопряжённым оператором Гамильтона. В классической механике состояние системы задаётся точкой на гладком многообразии с симплектической структурой (фазовом пространстве), а динамика – функцией Гамильтона.
И гильбертово пространство с действующими в нём линейными операторами, и гладкое многообразие с симплектической структурой – это прежде всего геометрические образы, но совершенно несхожие. Тем не менее в квазиклассическом пределе из квантовой механики возникает классическая. Вопрос: как, “держа в руках” квантовомеханическую систему, то есть гильбертово пространство, “рассмотреть” в нём соответствующую классическую динамическую систему, то есть построить соответствующее гладкое многообразие?
По-видимому, в такой постановке эта задача не доделана до конца (хотя ей или её вариантами занимается масса людей, например Олег Шведов). В прошлом году в arXiv’е появилась серия статей Ханса де Грооте, в которой реализована очень близкая программа: показано, в каком смысле квантовые наблюдаемые (то есть опять же операторы на гильбертовом пространстве) “похожи” на классические (то есть просто функции на топологическом пространстве) и даже, при некоторых условиях, могут быть реализованы классическими наблюдаемыми. Вот эти статьи:
Топологическое пространство, на котором реализуются соответствующие классические наблюдаемые – это “спектр Стоуна” решётки подпространств гильбертова пространства, реализующего квантовомеханическую систему. Спектром называется, грубо говоря, способ отобразить соответствующую решётку в некоторое топологическое пространство.
Update Слово “решётка” в математике имеет два смысла. Первый, как в словосочетании “кристаллическая решётка” (регулярная конфигурация точек), здесь ни при чём. Решётки, о которых идёт речь, это совокупности каких-то объектов, котороые можно “объединять” и “пересекать” друг с другом. Например, открытые множества в пространстве можно объединять и пересекать. Если выделить в пространстве какую-то точку и выбрать только те открытые множества, которые содержат эту точку, то по этому набору открытых множеств выделенную точку можно восстановить однозначно (грубо говоря, как предел стягивающейся последовательности своих окрестностей). Если пространства как такового у нас в руках нет, но как-то перечислены всевозможные открытые множества в нём, то с помощью некоторой теоретико-решёточной чёрной магии само пространство можно восстановить, выделив в решётке открытых множеств такие “стягивающиеся последовательности” и “собрав” интересующее нас пространство из их “пределов”. Если, наконец, у нас есть решётка и неизвестно, соответствует ли она вообще какому-нибудь пространству или имеет совершенно другую природу, то можно применить ту же чёрную магию и посмотреть, что получится в итоге. Это как раз и будет “спектр Стоуна” данной решётки.
Конечно, никакой квазиклассики в теории де Грооте, по крайней мере на первый взгляд, нет.
В общем-то эта серия работ иллюстрирует типичную для матфизики ситуацию: для того, чтобы математически корректно реализовать какую-то самоочевидную для физиков вещь, приходится строить целое нагромождение собственно математических конструкций. Но то, что в итоге получается, оказывается уже чисто аксиоматически определённым объектом, для работы с которым физическая интуиция не нужна, а при некотором везении этот объект может содержать в себе иные, совершенно новые физические или математические сущности. На такое везение мы, матфизики, и надеемся
В новом (уже февральском!) номере Notices of the American Mathematical Society опубликована статья Джеймса Тентона “Математические кружки и олимпиады” с подзаголовком: “Время в США настало?”
Главное, чтобу у нас не прошло.
Ален Конн в соавторстве с Матильдой Марколи опубликовал расширенный вариант своих лекций на школе по некоммутативной геометрии, проводившейся в 2005 году в Институте теоретической физики и математики в Тегеране. “Прогулка в некоммутативном саду” – это 106-страничная статья, специально посвящённая конкретным примерам некоммутативных геометрических пространств. Как сказано во введениип, “часто лучше входить в новый предмет, анализируя конкретные примеры, а не излагая общую теорию”.
Некоммутативная геометия началась в 1925 году со статьи Гайзенберга об атомных спектрах, в которой были введены некоммутирующие числа для описания координат и импульсов. С этого примера начинается и статья Конна. Затем следует, как и обещано в заголовке, целый сад примеров самого разнообразного происхождения: некоммутативные торы, квантовый эффект Холла, замощения плоскости (проиллюстрированные фотографиями восточных мозаик), некоммутативные пространства, возникающие в теории динамических систем и в теории струн, а вторая половина статьи более или менее целиком посвящена КТП. Статья читается достаточно легко, недостаток алгебраических знаний (например, у вашего покорного слуги) восполняется ясным описанием конкретных некоммутативных пространств.
На той же веб-странице математического департамена Института помещено неформальное интервью Конна (в формате pdf). Резюме и обсуждение этого интервью см. в блоге Not Even Wrong.
Update: Ливен Лебрейн, некоммутативный геометр из Антверпена и автор блога neverendingbooks.org, не советует читать эту статью и призывает вместо того прочесть интервью Конна. Должен признаться, что до интервью я ещё не добрался, но вот замечательная цитата, которую приводит Лебрейн:
Physicists tend to shift often and work on the last fad.
(…)
In mathematics one sometimes works for several years on a problem but these young physicists have a very different type of working habit. The unit of time in mathematics is about 10 years. A paper in mathematics which is 10 years old is still a recent paper. In physics it is 3 months.
Ох, правда.
Продолжение саги С.Ю. Доброхотова, применяющего масловские методы для описания движения локализованных объектов (тайфунов, цунами) в мировом океане (представленном как двумерная плёнка воды).
Оказывается, ряд Тейлора придумал Иоганн (Иван) Бернулли, когда Тейлор ещё ходил пешком под стол. А известный польский специалист по комбинаторике Анджей Квасьневский напоминает эту историю и объясняет, как писать ряды Бернулли-Тейлора в умбральном исчислении (в котором я хотел бы когда-нибудь разобраться).
Между прочим, для польского интеллектуала это на редкость русофильская статья. Вот даже имя Бернулли в ней русифицировано. Pozdrowienia!
Каждый студент-физик знает, что если нужно извлечь из экспериментальных данных степенную зависимость, то кривую надо строить в дважды логарифмическом масштабе и строить линейную регрессию. Олег Виро в своё время заметил, что алгебраические многообразия, являющиеся решениями полиномиальных уравнений, в дважды логарифмическом масштабе превращаются в ломаные линии, составленные из прямых отрезков (правда, там ещё нужно сделать некоторый предельный переход).
Получился интересный предмет: геометрия выпуклых многогранников, которую строят в параллель “настоящей” вещественной алгебраической геометрии, и Григорий Михалкин в этой науке корифей. Эта обзорная статья соответствует докладу Григория на семинаре “Глобус” в НМУ, который он сделал 10 ноября 2005.
Я собираю ссылки на свежие публикации по тропической геометрии в онлайновую библиографию, а более старую библиографию (до конца 1990-х) можно посмотреть на сайте Стефана Гобера.
Меня зовут Андрей Соболевский, я доцент кафедры квантовой статистики и теории поля физфака МГУ.
На этих страницах я пишу о новостях математики и математической физики, об интересных книгах, статьях и препринтах, о практических мелочах научной работы и об учебной работе со студентами на физфаке.
