ansobol.blogsome.com

Очередное заседание семинара по математическому моделированию развивающихся систем (рук. Д. С. Чернавский) состоится в среду 21 декабря в 16.00 в конференц-зале теоретического отдела ФИАН (Ленинский пр. 53, Главное здание, правое крыло, 1-й этаж)

Докладчик: Алексей Савватеев (РЭШ)

Тема доклада: О координационныхкоалиционных играх

Чтобы попасть на семинар, надо записаться у секретаря семинара Олега Шадрина.

Update: Этот доклад надо было назвать “Теория игр – это не то, что вы подумали”.

Во-первых, название в анонсе было указано неправильно: игры, конечно, должны быть коалиционные. Информационный повод для такого доклада понятен - Нобелевская премия 2005 года по экономике, присуждённая Ричарду Ауманну. (Конечно, если не становиться на более прагматичную точку зрения: просто Алексей Савватеев ненадолго приехал в Москву из Бельгии, где он постдок в Лувене)

Во-вторых, оказалось, что коалиционные игры довольно сильно отличаются от игр в смысле фон Неймана-Моргенштерна (disclaimer: автор этих строк в теории игр профан, и за все глупые ошибки в нижеследующем тексте несёт ответственность только он). В “обычных” играх есть понятие стратегии - хода, который выбирает каждый игрок, а затем, грубо говоря, вся совокупность выбранных игроками стратегий определяет, какой выигрыш получит каждый из них.

В коалиционных играх нет смыслового различия между стратегиями и выигрышами: игроки выбирают сразу свои выигрыши (с точки зрения некооперативных игр это рай…). “Фишка” в том, что для игроки могут сбиваться в группы (коалиции), в которых “целое больше суммы частей”: диапазон возможных выигрышей для группы больше, чем для входящих в неё индивидов по отдельности. Поэтому в коалиционных играх игрокам нужно делать два выбора: в какую коалицию войти и, уже в составе этой коалиции, какой выигрыш получить.

Следовательно, в коалиционной игре решением игроков может оказаться вариант, не обязательно оптимальный для всего коллектива в целом, но устойчивый по отношению к “групповщине” – ни одна малая коалиция не пытается переделить ситуацию в свою пользу. То же, правда, верно и для некоалиционных игр, только там каждый “сам за себя” и устойчивость требуется по отношению лишь к индивидуальным решениям игроков.

Основную часть доклада занял, в сущности, этот “ликбез”, совершенно необходимый для аудитории наивных физиков; лишь в конце доклада Алексей рассказал о своей новой работе с бельгийскими коллегами, которая сыграла роль развернутого и интересного примера, поясняющего основные понятия теории, но эта работа заслуживает отдельного разговора.

Докладчику, увы, не удалось удержаться от “математического терроризма”, и временами он рисковал потерять контакт с аудиторией. Вот пример: запись 2^N для любого физика означает “число, равное произведению N двоек”, и осознать, что это на самом деле есть “множество всех отображений N-элементного множества в двухэлементное, рассматриваемое с точки зрения своего естественного изоморфизма с множеством всех подмножеств N-элементного множества”, для любого физика довольно трудно.

Каков же “сухой остаток” для слушателя неспециалиста? Чтобы это сформулировать, сравним игровые постановки задач с более привычными для физиков (да и экономистов) оптимизационными. Когда необходимо оптимизировать какую-нибудь величину – критерий качества (минимизировать свободную энергию или действие, максимизировать прибыль и т.п.), то решение воспринимается как нечто, обязательное для всех подсистем рассматриваемой системы. Так естественно поступать, если подсистемы не обладают своей собственной волей (например, именно так обстоит дело в подавляющем большинстве физических задач). Решению в таком случае легко быть устойчивым: любое изменение приведёт к ухудшению глобального критерия качества и будет отброшено, если только наш оптимум сам глобальный. Не то в игровых постановках: здесь устойчиво лишь то решение, изменение которого нарушает все без исключения индивидуальные и групповые интересы. Это – совершенно иной подход к оптимизации, и в этом, пожалуй, заключается сверхидея доклада.

Кстати, в начале семинара Алексей сказал, что теория игр – это “вторая математика”, которая для общественных наук должна играть примерно такую же роль, как “первая математика” (анализ, дифференциальные уравнения, топология) – для физики и других наук о природе. Совершенно очевидно, что игровой подход к оптимизации содержателен именно для общественных наук. Можно ли найти для него применение в физике?

В статистической физике низких температур глобальное состояние системы определяется минимизацией её энергии. Если система идеальна, то энергию любого коллектива (гм, коалиции?) частиц можно рассматривать независимо от других, потому что энергия взаимодействия между разными коллективами отсутствует, и возникает формальная аналогия с коалиционными играми.

Но на решение задачи о минимизации энергии влияют еще “статистические ограничения”: например, по принципу запрета Паули фермионы отказываются сосуществовать в одном и том же квантовом состоянии. Такие статистические ограничения можно воспринимать как что-то вроде рудиментарной “субъективности”, присущей игрокам. По-видимому, статфизику квантовых идеальных систем при низких температурах должно быть нетрудно сформулировать на игровом языке; интересно, можно ли получить таким образом более содержательные статфизические модели.

У меня напрашиваются ещё два вопроса по поводу рассказанного Алексеем, но они оба “террористические” (чтобы сформулировать их понятнее, пришлось бы писать целую статью). Во-первых, во всей рассказанной им науке о коалиционных играх центральную роль играет структура подпространств линейного пространства; можно ли построить содержательное обобщение теории, заменяя эту структуру на другие известные математике структуры (aka решётки)? Во-вторых, где в коалиционых играх любезная сердцу любого оптимизатора двойственность? Не может же она вот так просто не существовать.